随机误差的统计特性及减少方法
在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。
多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。
1.数学期望
在相同条件下，用相同的仪器和方法，由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量，称为等精密度测量。
设对某一被测量x 进行测量次数为n的等精密度测量，得到的测量值xi（i=1,2,…,n）为随机变量。其算术平均值为(也称为样本平均值):
，
当测量次数n→∞时，样本平均值 的极限称为测量值的数学期望：
，这里的Ex也称为总体平均值。
数学期望:反映其平均特性。其定义如下：
X为离散型随机变量：；
X为连续型随机变量： 。
2.算术平均值原理
（1）算术平均值的意义
当测量次数足够多时则近似认为，随机误差的数学期望等于0。即在仅有随机误差的情况下，当测量次数足够多时，测量值的平均值接近于真值。
则第i次测量得到的测得值xi与真值之间的绝对误差就等于随机误差，
随机误差的算术平均值：
在实际测量工作中，采用某些技术措施基本消除系统误差的影响，并且剔除粗大误差后，虽然有随机误差存在，但可以采用多次测量值的算术平均值作为最后的测量结果。
（2）剩余误差（又称残差）
各次测量值与其算术平均值之差，称为剩余误差。
对上式两边分别求和，有
上式表明：当n足够大时，残差得代数和等于零。
3.方差与标准差
方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。
随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望，记为D（X），即
例：两批电池的测量数据
1测量数据的分布曲线
可以看到两批电池的测量的平均数据相同，但是偏离平均值的结果是不同的，因此，只是期望不能表示出结果的差别，需要引入方差与标准差的概念。显然，第一批电池的测量数据的分散程度较第二批好，即第一批较第二批方差较小。
标准偏差定义为：，
标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。
标准差反映了测量的精密度， 小表示精密度高，测得值集中，大表示精密度低，测得值分散。
二、贝塞尔公式及其应用
1.随机误差的正态分布
测量数据X的概率密度函数为：；
随机误差的数学期望和方差为：
同样测量数据的数学期望E(X)＝，方差D(X)＝ ；
图2 随机误差和测量数据的正态分布曲线
从图2可以看到随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差。随机误差具有：①对称性 ② 单峰性 ③ 有界性 ④抵偿性 四个特点。
图3 正态分布的标准偏差曲线
从图3可以看到，，即标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。
2.贝塞尔（Besell）公式
3．算术平均值的标准差
有限次测量数据的标准偏差的估计值；
算术平均值：；
残差：；
实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：
算术平均值标准偏差的估计值 ：
；
算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小倍。原因是随机误差的抵偿性 。
三、均匀分布情况下的标准差
1.均匀分布的概率密度
;
2.均匀分布的数学期望与方差
数学期望为 ;
当 时, ；
标准差为
四、 非等精密度测量
1.权的概念
可靠程度大的测量结果在最后报告值中占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小一些。表示这种可靠程度的量称为“权”，记做W。
i=1,2,3,…,m
2.加权平均值
，其中，m是非等精度测量数据的组数，N是等效后的次数。可以得出：
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